論文の内容を日本語で紹介しています．刊行済み・未刊行を区別せず，初回プレプリント発表の古い順に掲載しています．全業績は論文一覧をご覧ください．
論文
Research papers
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Quasi-symmetric invariant properties of Cantor metric spaces
私のファーストペーパーである． 二倍性，一様不連結性，一様完全性の有無による八つの型のうち， 三性質をすべて満たす場合を除く七つの型それぞれに， 連続体濃度のカントール距離空間の擬対称同型類が存在することを証明した． これは，三性質をすべて満たす場合には擬対称同型類が一つになるというDavid–Semmesの定理 の仮定を否定したときに何が起こるのか述べた定理である．
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On the Assouad dimension and convergence of metric spaces
距離空間の幾何学に現れる接錐と漸近錐は面白いものだと思うが， なんか知らんが扱いが統一化されてなかったのでこの論文でやってみた． 距離空間の部分集合を拡大・縮小して得られるグロモフ・ハウスドルフ極限として擬錐を導入し， 接錐や漸近錐に関する次元評価を一般化した． 任意の擬錐のAssouad次元が元の空間のAssouad次元を超えないことを証明し， すべてのコンパクト距離空間を擬錐として含む距離空間を構成した．
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A characterization of metric subspaces of full Assouad dimension
上記論文で導入した擬錐を使う論文である． 通常のユークリッド空間も自己相似空間の一種であるという思想のもとで， 自己相似性をlaxして色々試してみた． ユークリッド空間やカントール集合などの自己相似空間を共通に扱うために， tiling spaceを導入した．二倍性を満たすtiling spaceについて， 部分空間のAssouad次元が空間全体のAssouad次元と一致するための必要十分条件を与えた．
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An interpolation of metrics and spaces of metrics
筆者が距離関数のモジュライ空間の研究を始めた論文である． 指導教員にSardの定理の一般化の研究とかしたいですって言ったら 難しそうだしやめといたらって言われたので， Sardの定理がダメならBaireの範疇定理かなと思ってやってみた． 近似誤差を踏まえた拡張定理が証明できれば理論は勝手に凝固し出来上がるだろうと思って試みた． 拡張定理が全く証明できず年末と正月が潰れたが奇跡的に， マイケルの連続選択子定理が適用できて証明が成功し，論文にできた． ハウスドルフの距離関数拡張定理を発展させ， 閉集合の離散族上に与えられた距離関数を， 近似誤差を制御しながら空間全体へ補間する定理を証明した． 応用として，非離散な距離化可能空間では，二倍性や一様不連結性を満たさない距離関数が， 距離関数のモジュライ空間でそれぞれ稠密な Gδ 集合をなすことを示した．
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An embedding, an extension, and an interpolation of ultrametrics
非アルキメデス的類似というものがある．これは通常の数学を非アルキメデス的にすることで得られる 0次元的な数学である． 距離関数には超距離関数が対応する． 世の中には色々な非アルキメデス的類似が証明されているので，これらを組み合わせれば 上記論文の非アルキメデス的類似を得られるだろうと思いやってみた． おあつらえ向きにマイケルの連続選択子定理には0次元バージョンがあったので， できる確信があった． まず，Arens–Eellsの等長埋め込み定理とハウスドルフの距離関数拡張定理について， 超距離空間における類似を証明した． さらに，超距離関数の補間定理を与え， 完備性によるコンパクト性の特徴付けや， 超距離関数のモジュライ空間における稠密集合の研究へ応用した．
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On dense subsets in spaces of metrics
二倍性質の否定の集合の話はもうやってるけど， 二倍性質そのままの集合はどうなるのかということをやった論文である． 確か，博士論文執筆のストレスに耐えきれず息抜きで書いたと思う． 距離関数のモジュライ空間において， 二倍距離関数全体が稠密であることは元の空間が有限次元コンパクトであることと同値であり， 一様不連結な距離関数全体が稠密であることは 元の空間が0次元コンパクトであることと同値であると証明した． また， カントール集合上の一様完全な距離関数全体の位相的分布を明らかにした．
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Branching geodesics of the Gromov–Hausdorff distance
理研に着任したら東北大の横田さんからGH空間で今までの話できないかみたいなメールがきて， できますできますって返信してかいた論文である． 実際， 4の論文ではGH spの理論で使うような補題を使っていたので前々から興味はあった． グロモフ・ハウスドルフ空間の任意の異なる二点を結ぶ， ヒルベルト立方体で連続的にパラメーター付けされた分岐測地線の族を構成した． この構成を用いて，二倍性，一様不連結性， 一様完全性の有無を指定した部分集合などが， 測地空間であり無限次元であることを証明した． まず最初に二倍性，一様不連結性， 一様完全性の話を完成させたが， これインパクト薄いかなと思って， 測地線の話を追加したらそっちがメインになった． あとGH spの測地線のお勉強も兼ねていた．
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Fractal dimensions in the Gromov–Hausdorff space
詳細を覚えていないが， 横田さんに色々質問されて答える過程で 生み出された論文の一つである． ハウスドルフ次元， パッキング次元， 上箱次元， Assouad次元を， これらの大小関係が許す範囲で任意に指定したカントール超距離空間を構成した． このような空間の構成は誰かがやってそうなものではあるが， 見つからなかったので 書いておいた． さらに，位相次元とこれら四つの次元を指定したコンパクト距離空間全体， およびコンパクト超距離空間全体のそれぞれへ， 任意のコンパクト距離化可能空間を位相的に埋め込めることを証明した．
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Continua in the Gromov–Hausdorff space
詳細を覚えていないが，横田さんに色々質問されて答える過程で 生み出された論文の一つである． グロモフ・ハウスドルフ空間において， 連結，弧状連結，測地的， CAT(0)という各条件を満たすコンパクト距離空間全体へ， 任意のコンパクト距離化可能空間を位相的に埋め込めることを証明した． これにより， これら四つの部分集合がそれぞれ弧状連結であり， その任意の空でない開部分集合が無限次元であることを示した．
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Metric trees in the Gromov–Hausdorff space
上記論文を受けてTreeの空間とかどうなのって聞かれて， 今までの方法ではTreeはキツイです． って横田さんに返信して 1時間くらいたって解決法が思いついたのでやっぱり出来ますって メールした論文である． 距離空間の一点和を用いて，任意のコンパクト距離化可能空間を， グロモフ・ハウスドルフ空間内の コンパクト距離木全体へ位相的に埋め込めることを証明した． さらに，距離木全体が弧状連結であり， その任意の空でない開部分集合が無限次元であることを示した． 証明のポイントは，Treeを毛むくじゃらにするところである．
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Simultaneous extensions of metrics and ultrametrics of high power
イントロにも書いているが， 通常の距離関数はそれを拡張する写像を連続写像として 取ることができる．すると 超距離関数の拡張が， 関数空間の連続写像や， リプシッツ写像として取れるかという問題意識が 現れる．これに答えた論文である． 思いっきり一般化しようと思って， 全順序アーベル群に値を取る一般化距離関数を扱い， 値域の順序構造に関する仮定の下で， 距離関数と超距離関数の同時拡張定理を証明した． 応用として， 一般化距離関数の完備性による final compactness の特徴付けを与えた． 論文執筆の過程でわかったのだが， 一般の距離関数で位相が生成される空間は 全部0次元になるので， あんまり一般的でないことがわかった． いるかどうかわからないが， これから一般の距離関数を扱う人のための 基本や文献案内を細かく書いた．
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On comeager sets of metrics whose ranges are disconnected
ここから出てくる強0次元距離化可能空間というのは 被覆次元が0の距離化可能空間のことであり， 超距離化可能な空間と同義である． 一般の距離化可能空間のspace of metrics を扱うのはとても難しいのでとりあえず そのような空間で， とりあえず色々研究することにした． 強0次元距離化可能空間では， 距離のとりうる値全体が実数直線の 閉な完全不連結集合となる距離関数が， 距離関数のモジュライ空間で稠密な Gδ 集合をなすことを証明した． 応用として， ある種の等長普遍性を持つ距離関数全体がmeagerであることを示した． 私のノートに溜め込んでおいた変な距離空間の構成法を 論文に残すことができて満足である．
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Extending proper metrics
ふと， ティーチェの拡張定理って， 証明をせかせか確認すれば σ-コンパクトとか 仮定すると固有関数のクラスでいけるよなと思って 出来上がった論文である． 12と13は同時に執筆しており， かなり大変だった． まず固有関数に対する Tietze–Urysohn型拡張定理を証明した． 最初はTietze–Urysohnの定理の証明を局所コンパクト用に 細かく作り変えることで証明していたが， 山﨑さんの論文を引用することで 証明を かなり省略することができた． これを用いて， σ-コンパクト局所コンパクト距離化可能空間の閉部分集合上の固有距離関数を， 空間全体へ固有性を保って拡張できることを示した． さらに， 閉部分集合が固有レトラクトならば， 拡張後の空間全体とその部分空間が擬等長になるようにできることを証明した． このころから幾何学的群論にも色気を出してみた.
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Strongly rigid metrics in spaces of metrics
児玉・永見の位相空間論に 「超精密」という概念が距離関数に対して定義され， そのような距離がカントール集合の上に存在することを証明する演習問題がある． この概念こそがこの論文における strongly rigidである．定義としては 異なる二点集合には異なる距離値を与える距離関数のことである． 以下ではより馴染む訳語「強リジッド」を用いる． この論文では強リジッド距離関数を研究した． 濃度が連続体以下の強0次元距離化可能空間では， 強リジッド距離関数全体が距離関数のモジュライ空間で稠密であり， さらに元の空間がσ-コンパクトならば稠密な Gδ 集合をなすことを証明した． 証明手法としては， 急に強リジッドな距離を構成するのではなく， 空間2点毎に， 有理数体上線形独立になるような距離 を作ることで 定理を証明した． 最初に考えていた証明が， 可分な場合にしか成り立たない証明で， それを非可分な場合に修正するのに一ヶ月余計に時間がかかってしまった． アイデアのキーとなっているのはフォンノイマンによる 有理数体上代数的独立な連続体濃度の実数の構成である． これを参考にして謎の集合族を使って線形独立な実数を構成しているが， 今見ると，集合論における「独立集合」の概念を借用すればもっとスッキリ記述できたと思う． 書き直しをするつもりは全くないが． イントロなどにも書いているが この定理自体はRouyerのGH spにおける 強リジッド距離空間の結果のアナロジーであり， 急に思いついて証明したわけではない．
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A factorization of metric spaces
超距離空間の(空でない)閉集合が全体空間のレトラクトになるということの とても素晴らしい証明を読んだので， なんとかこれを利用して面白いことはできないかと思って やってみた論文がこれである． 距離化可能空間の空でない閉部分集合について， その補集合が0次元ならば， 空間全体をその閉部分集合と0次元距離化可能空間との直積に閉部分空間として埋め込めることを証明した． この分解を用いて， 完備性，固有性，フラクタル次元， 大尺度構造などを保つ距離関数・ 超距離関数の拡張作用素を構成した．
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Constructions of Urysohn universal ultrametric spaces
Wanによって 非アルキメデス的GH空間が 非アルキメデス的ウリゾーン普遍距離空間になることが証明 されていて,この定理とても面白いなと思って， 私もやりたくなってこの論文をかいた． 連続関数の空間や連続擬超距離関数の空間を用いて， 非アルキメデス的ウリゾーン普遍距離空間の新しい構成法を与えた． これらの空間に適切な超距離を入れ， 有限超距離空間からの等長埋め込みを拡張できることを証明した． 要は私が扱ってきた space of ultrametrics(の完備化)も 非アルキメデス的ウリゾーンになるということであった．
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Uniqueness and homogeneity of non-separable Urysohn universal ultrametric spaces
これまでの研究では， 非アルキメデス的ウリゾーン普遍距離空間を扱う場合には， 距離の取りうる値を 可算なものに制限して空間を可分にしていた． なんとかして可分ではない 非アルキメデス的ウリゾーン普遍距離空間を扱えないかと思って この論文を書いた． Wanの結果によって， 非アルキメデス的GH空間の話を参考にして非可分な非アルキメデス的GH空間を モデルにすればいいことはわかっていたので， あとはどのように特徴付けするのかという部分が難しかった． 距離空間の分解の論文の執筆過程で知ったProximityな部分空間の 概念がとても参考になった． 非可分な非アルキメデス的ウリゾーン普遍距離空間を扱うために， petaloid超距離空間を導入した． 距離の値域を固定すると等長を除いて一意であること， およびコンパクト部分空間の間の 等長写像が空間全体の全単射等長写像へ拡張できることを証明した．
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Characterizations of Urysohn universal ultrametric spaces
特徴付け定理ができたので， 実際に運用した論文である． 有限個の直積や冪空間をとる操作でも 非アルキメデス的ウリゾーン普遍距離空間は変わらないことを示した． 講演をするのがとっても大変な論文であった． 閉球内の無限等距離集合の存在によって， 超距離空間における有限部分空間からの等長埋め込みの拡張可能性を特徴付けた． これを用いて非アルキメデス的ウリゾーン普遍距離空間を特徴付け， その有限直積，非空コンパクト部分集合の超空間， および対称積が元の空間と等長になることを証明した．
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A non-Archimedean Arens–Eells isometric embedding theorem on valued fields
任意の超距離空間を， 与えられた非アルキメデス付値体の拡大体へ， 像が基礎体上代数的に独立となるように等長埋め込みできることを証明した． これは， 距離空間をノルム線形空間へ埋め込むArens–Eellsの定理の， 付値体における類似である． 上記の非アルキメデス的ウリゾーン普遍距離空間に関する観察から， この論文を得た．しかし， 代数の概念を扱う以上，私が扱えるギリギリの内容になり， 執筆が難航した． 最終的にはAIが発達して実用段階になったことで， 校正や誤字脱字の修正をAIに任せることでなんとか脱稿できた．
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Spaces of metrics are Baire
距離化可能空間を与え， その距離化可能空間と同じ位相を誘導する距離関数全体の集合を考え， それに上限距離を導入することで位相空間にする． この空間は距離関数のモジュライ空間と考えることができ， 最初に与えた距離化可能空間の上に展開可能な幾何学全体を反映していると考えられる． モジュライ空間の理論においては， モジュライのコンパクト性や完備性に注意が払われるが， この距離関数のモジュライは完備ではない． この論文では， そのようなモジュライ空間の便利な性質として， 距離関数のモジュライがベール空間であることを証明した． さらに， 元の空間が完備距離化可能ならば完備距離関数全体がcomeagerであることを示し， 超距離関数についても類似の結果を得た． この論文のアクセプト以降は， Space of metrics をModuli space of metrics と呼んでいる．
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An isometric extensor of metrics
越野さんとの共同研究をするために 五日くらいで証明と執筆を終わらせたとんでもない論文である． もう二度とこのような強行スケジュールはやらない． ハウスドルフの距離関数拡張定理を発展させ， 距離化可能空間の閉部分集合上の距離関数を， 元の位相を保ちながら空間全体へ同時に拡張する作用素を構成した． この作用素は，任意の二つの距離関数の間の上限距離を保つ等長写像である．
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On isometric universality of spaces of metrics
越野克久氏との共同研究であり， 距離関数のモジュライ空間への等長埋め込みを研究した． 特に， 距離化可能空間上の 距離関数のモジュライ空間がすべてのコンパクト距離空間を等長に含むための必要十分条件は， 元の空間が可算かつコンパクトな距離化可能空間ではないことであると証明した． 前々から予想としてあげていた 距離関数のモジュライ空間の等長普遍性を証明した論文であり， 距離関数のモジュライ空間の理論の一つの到達点である．
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Algebraic structures on non-Archimedean Urysohn universal metric spaces
19の論文の初版プレプリントの後半を分離させた論文である． そもそも通常のウリゾーン普遍距離空間にすら代数構造が存在するらしく， それならばそれを非アルキメデス的類似しようと思ってやってみた論文である． 非アルキメデス的ウリゾーン普遍距離空間を付値体として実現する問題を研究し， p-進Levi–Civita体を導入して， 通常のLevi–Civita体とともにその実現に用いた． また， 無限剰余体を持つ完備付値体は， 対応する距離値を持つすべての可分超距離空間を等長に含むことを証明した．
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Absolute Borel Complexity of Moduli Spaces of Ultrametrics
越野克久氏の論文の非アルキメデス的類似である． できるだろうとは前々から思っていたが， なかなか手が付かずにいたのをAIパワーで完成させた論文である． 有界な位相的超距離関数全体に自然な非アルキメデス的距離を入れたモジュライ空間について， 正の有限段階の絶対ボレル階層の加法類（乗法類）に属するならば， 元の空間が同じ段階の乗法類（加法類）に属することを証明した． さらに，このモジュライ空間が完備距離化可能であるための必要十分条件は， 元の空間がσ-コンパクトであることを示した． ただいま校正中．まだまだ色々あるので待っててくれ．
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Borelness of Moduli Spaces of Metrics Implies Separability
宇田智紀氏との共同研究であり， 距離化可能空間上の位相的距離関数全体が， 上限距離を入れた連続擬距離関数の空間のボレル部分集合ならば， 元の空間は可分であることを証明した． Koshino氏の定理と合わせて， 有界な位相的距離関数全体の空間が完備距離化可能であることと， 元の空間がσ-コンパクトであることの同値性を， 可分性を仮定せずに示した． これもまた，距離関数のモジュライ空間の理論の一つの到達点である． ただいま校正中． この説明文も校正中．
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A counterexample to Scottish Book Problem 155
実バナッハ空間の間の全単射で， 半径1/4の任意の閉球上ではすべての二点間距離を保つが， 空間全体では等長写像にならないものを構成した． これにより， 局所的な距離の保存から大域的な距離の保存が従うかを問う Scottish Book Problem 155に反例を与えた． 可分性を仮定した155の肯定解は森迪也氏によって証明されていた． 可分性というものを除去したくて， AIパワーでやってみたら反例ができてしまった． 証明にbookkeepingを使った超限帰納法を用いており， 変な写像を全射になるように， 写像と定義域，値域を拡張するのに， このbookkeepingはすごい便利だなって思った． ただいま校正中．
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The topology of Gromov–Hausdorff space
空でないコンパクト距離空間の等長類からなる Gromov–Hausdorff空間が， 可分無限次元Hilbert空間と同相であることを示した． AIパワーを使った． ただいま校正中．この説明も校正中．しばし待たれよ．
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Algebraically independent distances and rigid metrics
14の続きの論文である． まさか14の論文に続きが出るとは思って無かった． AIパワーを使って 異なる2点部分集合上の距離が有理数体上代数的に独立となる距離関数を研究した． 濃度が連続体以下の強0次元距離化可能空間では， 任意の位相的距離をこの性質を持つ位相的距離で一様近似できることを示した． また， 恒等写像以外に全単射な自己等長写像を持たないリジッドな距離関数を研究し， 3点以上の空間上の任意の全有界な位相的距離が リジッドな位相的距離で一様近似できることを示した． ただいま校正中．
博士論文・その他
Other publications
PhD Thesis
博士論文
- Yoshito Ishiki, On metric geometry of convergences and topological distributions of metric structures, University of Tsukuba. DOI: 10.15068/0002000938. Link to University of Tsukuba Repository
Others
その他
- Yoshito Ishiki, Cardinality of quasi symmetric classes of Cantor metric spaces, RIMS Kôkyûroku No.2110 (2019), 56--70 (Japanese). ( link )
- Yoshito Ishiki, An interpolation theorem of metrics and geometric properties in spaces of metrics, RIMS Kôkyûroku No.2179 (2021), 1--8 (Japanese). ( link )
- Yoshito Ishiki, グロモフ・ハウスドルフ空間への位相的埋め込みについて, (On topological embeddings into the Gromov--Hausdorff space), RIMS Kôkyûroku No.2243 (2023), 113--119 (Japanese). (link).